materi integral lipat tiga

MATERI
KALKULUS PEUBAH BANYAK
Tentang
INTEGRAL LIPAT TIGA
PADA
KOORDINAT CARTESIUS, TABUNG, DAN BOLA








Tim penyusun : Crisnaini Rurun
Muhamad Makinudin
Umi kulsum
M.rizul arifin
Vico andika cipta
Dosen pembimbing : Ibu Sulistiowati, S,Pd

materi ini disampaikan pada presentasi mata kuliah Kalkulus Peubah Banyak pada tanggal 10 juni 2011
PEMBAHASAN
Integral lipat 2 kemudian berkembang menjadi integral yang lebih komplek lagi namun kali ini kita akan membahas mengenai integral lipat 3. Konsep dasar tentang integral lipat tiga sebenrnya sama saja dengan integral lipat 2. Tentang urutan pengintegralan tergantung dari bentuknya, namun dalam tiap kasus kita mengharapkan bahwa limit dari sebelah kanan berupa fungsi dua peubah, sedangkan limit tengah berupa fungsi satu peubah, sedangkan fungsi paling kiri (luar) berupa konstanta. Secara umum rumus untuk integral lipat tiga sebagai berikut:




a. Integral lipat tiga pada koordinat cartesius
Pada koordinat cartesius mempunyai sebuh ciri khas untuk koordinat bangun 3 dimensi. Pembahasan menegenai koordinat lebihlanud sebenarnya sudah diterangkan pada sub bab yang telah lalu, secara geometris koordinat cartesius seperti gambar 1.






Gambar 1
Pada umumnya pembahasan menegenai integral lipat tiga pada koordinat cartesius ditujukan untuk menghitung suatu bangun balok ataupun kubus, walaupun juga ada pembahasan mengenai penghitungan integral untuk bangun sembarang pada koordinat caresius namun jumlahnya hanya sedikit. Lebih lanjud untuk menjelaskan integral lipat tiga pada bangun balok seperti penjabaran berikut ini.






Gambar 2
Untuk penggunaan ruus integral lipat tiga pad koordinat cartesiusseperti dituliskan pada pembahasan diatas.


b. Integral lipat tiga pada koordinat tabung
integral lipat tuga kemudian juga digunakan untuk menghitung koordinat pada tabung, lebih lengkap mengenai pembahasan tentang koordinat tabung dijelaskan pad sub bab sebelumnya pad mata kuliah kalkulus peubah banyak,namunsekilas akan kami sampaikan dibawahini. Secara geometri koordinat tabung hampir sama dengan koordinat cartesius terhadap balok . hanya saja terdapat sedikit penambagan berupa lingkaran yang menyinggung garis x dan y (gambar 1), kemudian rumus terhadap koordinta cartesius ditransformasikan ke tabung seperti berikut:
x = r cos ө
y = r sin ө
z = z






gambar 3 gambar 4
Seperti keterangan transformasi dari koordinat cartesius ke tabung diatas kemudian jadilah sebuah rumus integral lipat tiga terhadap koordinat tabung dengan rumus sebagai berikut:



c. Integral lipat 3 pada koordinat bola
Integral lipat tiga terhadap koordinat bola mempunyai pola kerumitan yang lebih bila dibanding dengan tabung. Namun apabila kita memperhatikan lebih seksama mengenai pola dari bangun tiga dimensinya kita akan sedikit lebih faham mengenai perhitungannya. Secara geometris integral terhadap bola dapat dilihat pada gambar 3 dan gambar 4

gambar 5 gambar 6
kemudian untuk tranformasi dari koordinat cartesius ke koordinat bola adalag sebagai berikut:
x = r sin ф cos ө
y = r sin ф sin ө
z = r cos ө
Seperti keterangan transformasi dari koordinat cartesius ke bola diatas kemudian jadilah sebuah rumus integral lipat tiga terhadap koordinat bola dengan rumus sebagai berikut: